第45章 再下一城（2/2）

“如果在这里引入一个具有特定方差的高斯权重……不对，这样会破坏图的确定性结构。”

“或许可以保持图的结构确定性，但考虑其生成路径上的某种‘拟随机’加权？”

“等等……这个辅助算子的极限形式，是不是很像gue在缩放参数趋于某个特定值时的样子？”

思维的火花在药效的催化下激烈碰撞。终于，在第三天深夜，一个精巧的构造方案在他脑海中成型。这个辅助算子本身依然是一个确定性的算子，但其定义方式巧妙地引入了足够的“复杂性”，使得其在宏观统计行为上“伪装”成了一个随机系统。

接下来，他需要严格证明，原图拉普拉斯算子与辅助算子之间的差，是一个“小扰动”，并且这种“小”的程度，足以保证它们的局部谱统计在渐近意义下是一致的。这涉及到一系列复杂的估计：算子范数估计、特征向量局部化程度的控制、以及随机矩阵理论中已知极限定理的精确应用。

这个过程极其繁琐，充满了各种“分析”的硬功夫。他需要推导一个个的不等式，确保每一步的误差都在可控范围内累积。这期间，他再次消耗了两支精神药剂，以维持大脑在高强度计算下的精准度。书桌旁的草稿纸堆又明显增高了一截，上面布满了各种积分估计、矩阵不等式和概率收敛的论证。

终于， 如同第一篇论文的翻版，进入了最后的打磨与成文阶段。

论文标题定为：

《precise asymptotics and universal local spectral statistics forcians on a ss of sparse deterministic graphs》

（《一类稀疏确定性图上拉普拉斯算子的精确渐近与普适局部谱统计》）

在摘要和引言中，他着重强调了工作的创新性：

1. 建立了连接确定性稀疏图与随机矩阵理论的桥梁，首次为这类非随机图结构给出了精确的局部谱渐近。

2. 发展了适用于确定性图结构的“局部-全局”分解技术和新型确定性平均场方法，这些工具本身具有独立的价值，可推广至其他复杂网络的分析。

3. 得出了深刻的结论：在特定的稀疏性与自相似性条件下，确定性系统可以展现出与随机系统完全相同的普适统计规律，这为理解复杂系统中的秩序与随机提供了新的数学范式。

正文部分，他严格遵循学术规范，从图的定义、拉普拉斯算子的引入，到局部-全局框架的构建，再到辅助算子的巧妙定义和关键估计定理的陈述与证明，层层递进，逻辑严密。他特别注意了语言的清晰与精确，确保任何一位熟悉该领域的专家在阅读时，都能清晰地理解他的论证思路，并验证其正确性。

当这篇长达四十页的论文最终完成时，已经是第六天的晚上。张诚靠在椅背上，疲惫感如同潮水般涌来，但内心却充满了比完成第一篇时更加坚实的成就感。

第一篇论文，更像是对现有理论的巧妙推广和工具的精炼。而这第二篇论文，则真正触及了更深层次的数学结构，揭示了不同数学领域之间意想不到的深刻联系，其创新性和思想深度，在他看来，甚至略胜一筹。

“六天……比预想的还多了一天。”他揉了揉有些发涩的眼睛，低声自语。难度确实在增加，或者说，他选择的问题更具挑战性了。

他站起身，走到窗边。夜色深沉，万籁俱寂。连续两篇高质量论文的完成，并没有让他感到丝毫轻松，反而让他更加清晰地认识到任务的艰巨和时间的紧迫。

“还剩八篇……”他深吸一口清冷的空气，目光再次变得坚定而锐利。

短暂的休整已是奢侈，他必须尽快调整状态，向下一个目标发起冲击。燕园沉睡在夜色中，而那间临湖书房里的灯光，很快将再次为又一个不眠的长夜而点亮。