第45章 关于lg72、lg73、lg74、lg75的探究（1/2）

一、对数的基本概念

1.1 对数的定义

在数学领域，对数堪称指数运算的“逆伙伴”。若a^b等于c成立，那么b就是c以a为底的对数，表达为log_a c = b。这里，a是底数，b是指数，c是幂。比如log_2 8 = 3，因为2^3等于8。对数巧妙地将乘方与乘法关联，为复杂计算提供便捷路径，是数学运算中不可或缺的重要工具。

1.2 对数的历史起源和发展

对数的历史源远流长。公元前3世纪，阿基米德就研究过相关思想。15世纪文艺复兴时期，为简化天文等领域的复杂计算，数学家们开始探寻对数。1614年，苏格兰数学家纳皮尔首次公开提出对数方法。此后，对数不断发展，在计算器出现前，广泛应用于测量、航海等领域。

1.3 对数与指数函数的关系

对数与指数函数紧密相连，互为反函数。若指数函数为y=a^x (a＞0且a不等于1)，其反函数就是对数函数y=log_a x (a＞0且a不等于1)。从图像上看，二者的图像关于直线y=x对称。指数函数的定义域是r，值域是(0,正无穷)；而对数函数的定义域是(0,正无穷)，值域是r。这种关系使得在对数运算中，可通过指数函数来理解和求解。

1.4 对数的运算法则

对数的运算法则丰富多样。加法法则log_a (mn) = log_a m + log_a n，可将乘积的对数转化为对数的和。减法法则log_a (m\/n) = log_a m - log_a n，让商的对数变为对数的差。乘法法则log_a (m^p) = p log_a m，使幂的对数等于幂指数与底数对数的乘积。这些法则在简化复杂对数计算、解决实际问题中发挥着重要作用。

1.5 对数的常用类型

常见的对数类型有自然对数和常用对数。自然对数以无理数e≈2.为底，记作ln n。它在微积分等数学领域应用广泛。常用对数则以10为底，记作lg n，因其底数为整数，在日常生活和工程计算中较为方便，能快速估算数值大小。

二、lg说明书。

2.2 近似计算方法

近似计算这些对数值有简单方法。可先将真数分解为1~10间数的乘除，如72≈8x9，73≈7x10.，74≈7x10.，75≈5x15。

再利用对数运算法则，lg72≈lg8+lg9，lg73≈lg7+lg10.，lg74≈lg7+lg10.，lg75≈lg5+lg15。对1~10间数的对数可记忆或查表得出，进而近似算出结果，虽有误差，但在不需精确值的场合很实用。

2.3 手算的可行性与步骤

手算这些对数值较为复杂，但可行。先将真数拆分为底数10的幂与另一数的乘积，如72≈7.2x10。算出幂指数，再求另一数的以10为底的对数，利用对数表或近似方法计算。步骤繁琐，误差大，且效率低，在有计算器或计算机的现代不常用，但在特定无工具场合可作为备选。

三、对数值在实际中的应用