第144章 糖豆老婆的数学学习（2/2）

她有些慌乱地翻开书，指着其中一页，“就是例3.7.5！您推导最后一步用到的那个换元，还有对dxdy的理解……糖豆……糖豆还是不太明白，为什么那样换元就能简化计算？糖豆自己尝试推导了一下，但好像总是绕不过去……”

她一口气说完自己的计算过程和结果，然后紧张地屏住了呼吸，像等待审判一样看着教授，眸子中闪烁着希冀的光芒，又夹杂着怕出错的忐忑。

“教授……糖豆这样算……算得对吗？这个思路有没有问题？还有最后那个计算……”

糖豆的声音越来越小，带着一种“我知道可能错了但我不知道错在哪里”的可怜巴巴。

教室里已经彻底空了，只剩下她们两人。

窗外是深沉的夜色，远处宿舍的灯火星星点点。讲台魔法灯的光晕笼罩着两人，在糖豆雪白的头发和凯特尔教授银色的发丝上勾勒出柔和的光边。

空气里只剩下糖豆略显急促的呼吸声和羊皮纸细微的摩擦声。

几秒钟的沉寂，长得让糖豆几乎以为教授要拂袖而去。她下意识地缩了缩脖子，翅膀也紧张地收拢贴在了背上。

“计算过程，正确。”

这简短的四个字，如同天籁！

糖豆的眼睛瞬间亮得惊人，一股巨大的喜悦和释然几乎要冲破胸膛，她的小翅膀忍不住微微张开了一下，又赶紧克制住。但凯特尔教授的话还没完。

“但是……”

教授的手指向上移动，精准地点在了草稿纸中间的一个地方，那里画着一个简单的双曲抛物面z=xy的示意图。

“思路，有瑕疵。”凯特尔教授的声音依旧平淡，却带着不容置疑的权威，“你忽略了曲面方程z=xy本身的特点。”

她拿起讲台上的一支白色粉笔——虽然下课了，但这支粉笔依旧被她摆放在最顺手的位置——转身在身后巨大的黑板上，开始快速而精准地画图、书写。

粉笔划过黑板，发出清脆的嗒嗒声。一个标准的马鞍面（双曲抛物面）示意图迅速成形，坐标轴清晰无比。

“你的计算，在数学推导上无懈可击，但它计算的是‘曲面片’在xy平面投影区域d上，按照公式所定义的那个‘抽象曲面’的面积。而z=xy这个马鞍面，在单位圆盘d上，并非一个单值的函数图像。你在计算中，无意间将投影区域d分成了两部分，而每一部分都映射到了曲面上同一片区域的不同‘叶’上，导致你的积分结果实际上是计算了两倍的曲面面积。”

“两倍？！”

糖豆失声惊呼，她立刻看向自己草稿纸上的结果，再看向黑板上那两个点，小脸瞬间垮了下来，充满了挫败感。

“所以……所以糖豆算出来的结果……是实际面积的两倍？因为……因为同一个z高度，在投影区域里被两个点代表了？”

“正是如此。”

凯特尔教授放下粉笔，拍了拍手上几乎不存在的粉笔灰，动作依旧优雅利落。

“虽然计算结果错误，但对于初学者来说，已经很不错了，我听恩斯教授说，你前天才刚接触微积分。”

她的目光落在糖豆那张布满涂改却充满尝试痕迹的草稿纸上，冰蓝色的眼眸深处掠过一丝极其罕见的、近乎温和的微光，但转瞬即逝，又被惯常的清冷覆盖。

“算是很有天赋和上进心了。”