第19章 当凝神细思，以求通晓每句真意（1/2）

第六章

数学的学习与研究

601. 阅读任何代数论着时，首要之事是透彻理解其中展示的各个演算步骤及其相互联系。仅靠泛读——无论多么专注——都无法达成这一目标。数学着作不可能将学生必须内化的每个过程都详尽展开。许多结果（例如充斥于论证中的加法、乘法、开平方等运算）的细节会被省略。学生不应轻信这些内容，而必须亲自用笔演算——进行任何数学推演时，手中的笔都不可停歇。——德摩根《数学的学习与难点》（芝加哥，1902年），第12章

读代数着作时，首务在于彻悟书中所示诸般算法，及算法间之关联。然纵悉心研读，亦不可仅靠阅读达成此境。数学着作中，诸多推演步骤需学者自心补全，方算尽握其要——书中每略去加减、乘算、开方等运算细节，而此类推导又俯拾皆是。学者切不可轻信书中结果，必以己笔演算；凡研数学，手中之笔不可暂辍。

——德摩根《数学之研习与难点》（芝加哥，1902），第十二章

602. 学生不应放过任何锻炼数值计算能力的机会，尤其是运用对数表的实践。他将数学应用于实际问题的能力，直接取决于其运算的熟练程度。——德摩根《数学的学习与难点》（芝加哥，1902年），第12章

学者当不失任何机会操练数值计算，尤重对数表之运用。其将数学应用于实际问题之能力，与计算熟练度成正比。

——德摩根《数学之研习与难点》（芝加哥，1902），第十二章

603. 初学者选择的练习题目应当简单，且避免包含极大数值。人的心智无法同时专注于两件事：若复杂的数字运算已耗尽全部注意力，便无暇观察所遵循法则的原理。——德摩根《数学的学习与难点》（芝加哥，1902年），第3章

初学者选习题，宜从简易者始，勿用大数。盖人之脑力不可分心二用：若数字繁复至耗竭心神，则无暇体悟算法之原理。

——德摩根《数学之研习与难点》（芝加哥，1902），第3章

604. 欧几里得与阿基米德被公认为智者，其论述皆经严谨证明。但若有人通读其着作时未能领悟证明的关联与结论的实质——即便理解全部字句——他依然一无所获。他或许会相信，却并不真正理解这些数学家的言说，因而其数学知识不会因阅读权威着作而有丝毫增进。——洛克，约翰《理解力指导》，第24节

世人皆谓欧几里得与阿基米德学识渊博，所言皆有论证。然若读其书而不解证明之脉络、不明推导之要旨，纵识其所有文字，亦未增学识。此乃信其言而非知其理，虽读名家经典，于数学之道实无进益。

——约翰·洛克《理解的指导》，第二十四节

605. 学生应以最持久的专注力研读着作，以把握每句话的含义。若书籍编写得当，这种精读必有所获：即便没有示例辅助，正文本身也应足够清晰。遗憾的是，读者常草率掠过正文，不作切实深入的理解，便急于通过例题来澄清本可通过细读正文消解的困惑。在我看来，严谨推敲文本的习惯有多重意义：对语言的缜密剖析，无论对学术研究还是现实生活都是极有价值的训练。在高等数学领域，这种习惯更不可或缺——冗长的论证中不可能处处插入示例，学者必须逐句攻克并掌握那些复杂而宏大的推理。——托德亨特，伊萨克《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，18读——若允许我如此表述。我会稍修改拉格朗日的建议：继续前进，但要时常折返以巩固信念。遇到艰涩乏味的段落时，不妨暂时跳过；待后文显明其重要性或实际需求时，再回头攻克。——克里斯塔尔，乔治《代数（第二部）》（爱丁堡，1889年），前言第8页

凡堪精研之算学典籍，皆宜循“往复周流”之法以读之。吾稍变拉格朗日之策曰：“勉力前行，然须常回溯以固其信。”遇诘屈难通之章，可暂置之；待后文彰显其要义或见诸实用时，再返而攻坚。

——克里斯塔尔，乔治《代数（第二部）》（爱丁堡，1889年），前言第8页

608. 现代剑桥数学教材中庞大的习题集堪称其独特标志——国外数学论着乃至早期英语教材都鲜见如此编排。这一现象表明：掌握数学未必需要永无止境的习题演练......不必困囿于例题，你们的主要任务（我甚至可以说唯一任务）应是透彻理解作者的正文。——托德亨特，伊萨克 《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，1873年），第74页

今世剑桥算学教本，其习题浩繁，此诚为特色。异国算论，乃至昔时英人所着教本，鲜见如是编次。由此观之，欲通算学，未必穷极习题；诸君无庸拘于例题，务当精研正文，此诚为要务，甚至可谓唯一之务也。

——托德亨特，伊萨克 《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，1873年），第74页

609. 依我之见，英国人在数学教材编撰艺术上堪称卓越。就理论阐述的清晰度与精选例题的丰富性而言，萨尔蒙等众多英国杰出学者的着作，在别国鲜有匹敌。——克莱莫纳，l. 《射影几何》[洛伊兹多夫译]（牛津，1885年），前言

以吾观之，英人于纂辑算学教本之术，可谓精妙。论理明晰，例题精当，如萨尔蒙等硕学鸿儒之着作，他国罕有其匹。