第134章 解决移动沙发问题（1/2）

然而，此刻的陈航，坐在桌前写写画画。

桌上全是草稿纸。

就在刚刚，他又一次仿佛柯南附体般的biu激光，有了灵感。

经过几篇论文的阅读后，陈航的灵感更加强烈。

陈航那一刻意识到最优沙发必须满足一系列极强的几何约束：它在拐角处必须以特定方式旋转，底部必须挖去某些区域来绕过内墙角，同时外侧轮廓又要尽量向外凸以增加面积。这些约束听起来限制了很多自由度，但其实仍然留下无穷多种可能的形状，你可以把挖去的凹槽弄得更圆滑一点、更尖锐一点，或者微调旋转的时机。

陈航的思路是：先把所有可能满足这些必要约束的形状参数化，然后证明最优的那个至少得和gerver沙发“长得差不多”。换句话说，先把搜索范围从无穷维空间缩小到一个更可控的子集。

假设最优沙发在运动过程中，有几个关键的临界时刻，比如外角刚好贴着外墙角，内角刚好贴着内墙角，或者某个凹槽的刚好卡在某个位置……

他越写越快，草稿纸一张接一张地被画满。

接下来的几天，他把自己关在公寓里，像个被附身的画师，日夜不分地和草稿纸较劲。

他先是老老实实把gerver沙发的运动过程重新做了一遍，用参数化的方式完整描述了从进入拐角到完全通过的每一步：旋转中心、旋转角度、平移向量、每一时刻的边界与墙壁的距离约束。

三天后，他得出一个初步但让他自己都感到振奋的结论：

最优沙发一定与gerver沙发在拓扑意义和临界接触模式上高度相似。

换句话说，如果你允许形状有任意微小的扰动，但要求它仍然必须以几乎完全相同的方式去“吻”外角、去“刮”内角、去“卡”在那些决定性的临界位置，那么任何试图大幅偏离gerver形状的尝试，都会立刻导致面积减小，或者干脆过不去。

这个结论虽然还远远不是最终证明，但已经把可能的候选形状从“随便一个连续曲线围成的区域”这个无限维怪物，缩小到了“在gerver形状附近扰动”的一个相对“紧致”的集合。

至少，陈航不用担心突然冒出来一个像章鱼一样长着十八条触手的超级沙发，把gerver秒成渣了。

而原本到此处，陈航其实就可以写一篇论文，当作自己本科的毕业论文了。

但这不够，这并不是陈航会做的事情，它必然会解决这个问题的。

而移动沙发问题真正的困难这才开始。

他原本的宏伟计划是：把所有可能的沙发形状参数化成一个空间里的点，然后构造一个函数

a：形状 → 实数

使得a=该形状在l形走廊里能通过的最大“有效面积”。如果根本过不去，就定义为0或负无穷。

然后问题就变成了一个经典的优化问题：求a的全局最大值。

听起来很美，实际操作起来……呵呵。