第1章 番外：奇奇怪怪的解题方法（1/2）

关于那个问题：

假设小镇中现在有100人，且这一代人都可以两两配对形成50对夫妻，算上生产力地下等因素，古代盛世孩子的存活概率大概是50%，假设每对夫妻可以生0~8个孩子。然后，假设天资卓越可以成为仙人的概率是0.2%，仙人可以永远存活下去，且因为仙人生命周期极其漫长，所以其生的一两个孩子可以忽略不计，问，经过漫长的时间，是否有一天，活着的人中全部都是仙人？

让我们先定义一个模型。

假设o-t代表第t代的普通人口数量。第t代的所有普通人都会配对形成o-t\/2对夫妻。

这里，o-t可能是奇数，也可能偶数，是奇数的时候会导致有人无法配对，所以这里，我们直接假设o-t总是偶数。

每对夫妻生小孩，令b为每对夫妻的存活小孩数量，首先，我们假设b是常数。

那么，第t代夫妻所生的存活小孩数量总数为：

(o-t\/2）*b

每个小孩成为仙人的概率为：p=0.002，因此，成为仙人的小孩数量为：[（o-t\/2）*b]*p

成为普通小孩的数量为：[（o-t\/2）*b]*（1-p）。

第t代普通人在生育之后死亡，因此第t+1代的普通人口数量等于第t代夫妻所生小孩中称为普通人的数量。也就是：o-t+1=[（o-t\/2）*b]*（1-p）

而与此同时，仙人的数量会增加，令p-t为第t代开始时仙人的数量。仙人不会死亡，且生育的小孩不计，因此p-t为递增函数，第t代中称为仙人的小孩数量会加入到仙人群体，所以：

p-t+1=p-t + [（o-t\/2）*b]*p

根据初始条件，第零代：p-0=0,o-0=100

不难看出，当o-t=0的时候，普通人数量为零，存活的所有人都是仙人。

根据o-t+1的公式：o-t+1=[（o-t\/2）*b]*（1-p）

可以看出，这是一个线性递推的关系。

令r=[b*（1-p）]\/2

那么，o-t+1=r*o-t

所以，o-t-t+1=r*o-t-t