第445章 最后一课（1/2）

参加完未来商场的开业盛典，在家乡短暂停留几日后，李宸便返回了燕翎，再次回归到之前的生活轨道上。

《拓扑流体力学》这门以超高难度和极低“存活率”着称的课程已进入尾声，最终只留下来了三十余名线下学生和百余位线上参与者。

这是本学期的最后一堂正课，报告厅里气氛凝重。

有人曾说数学课不小心出神一下，再看黑板就看不懂了，这话放在李宸的课堂上也同样适用，即便坐在下面的人随便拿一个出去都是这个领域的佼佼者或是大拿。

李宸准时进入课堂，直接切入主题，今天他准备探讨的，是拓扑流体力学中一个极为深刻且尚未完全解决的问题：三维流形上，特定拓扑结构的涡旋场全局稳定性与对应的微分结构刚性。

这个问题可以将流体的动态拓扑不变量与流形本身的微分拓扑分类联系起来，是拓扑流体力学迈向更抽象数学前沿的试探。

他从经典的涡旋线纽结理论讲起，逐步引入高维类比，然后，他提出一个猜想：对于某类特定的、由拓扑不变量完全刻画的理想稳态涡旋场，其所在的三维流形是否必须具有唯一的微分结构？换句话说，这样的涡旋场的存在，是否会锁定流形的光滑类别？

这是一个极其大胆的猜想，连接了流体动力学、三维拓扑学和四维光滑庞加莱猜想的领域。

李宸阐述了几种可能的进路，其中一条涉及将涡旋场的拓扑不变量转化为某种规范理论不变量，进而与流形的donaldson不变量或seiberg-witten不变量建立联系。

这个问题十分困难，台下的学生们全神贯注，线上讨论区的滚动速度也比平时慢了许多。

陶哲瑄的id一如既往地活跃，当李宸讲到如何将涡旋管的自链接数与某种陈-西蒙斯理论中的缠绕数进行类比时，他留言道：

“这个类比很有趣，让我想起在尝试理解某些四维流形的光滑结构时，floer同调扮演的角色。你这里试图构建的涡旋拓扑不变量，在形式上是否有可能被提升为某种新型的流体floer理论的生成元？”

看到这条留言，李宸手中的笔停住了，他看着白板上关于涡旋场拓扑不变量与规范理论不变量之间转换的公式，又看了看陶哲瑄的提问。

“流体floer理论......通过将无限维流体相空间的梯度流与有限维的、由涡旋拓扑定义的某种模空间上的morse理论或fukaya范畴联系起来......” 他低声自语，眼神失去了焦点。

报告厅内鸦雀无声，所有人都屏住了呼吸，他们不知道李宸想到了什么，不过他们不敢打断他的思考。

突然，李宸的眼神重新聚焦，爆发出惊人的神采，然后他猛地转身，迅速清空了一小块白板区域，抓起笔以快得令人眼花的速度书写起来。

他不再拘泥于具体的涡旋场，而是直接从无限维的欧拉方程以及磁流体方程相空间出发，引入了一个基于特定涡旋拓扑类型的约束子流形。

接着，他借鉴了陶哲瑄的提示，尝试构造这个辛流形上的一种 “类floer链复形” ，其生成元对应于某种“广义的涡旋稳态解”，微分则由连接这些解的、在某种意义下的“梯度流线”给出。