第33章 数学的优雅（1）（2/2）

难的是第二问。

这道题第二问难度还好，就陈航就能想到有多种做法。

第一种做法，蛮力破拆。

经典的设方程、联立、韦达定理、代入条件公式计算。也就是设出直线ap的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理得出x1+x2。然后利用勾股定理丨bq丨2+丨aq丨2=丨ab丨2，结合弦长公式计算丨ap丨=丨x1-x2丨·√（1+k）2、点到直线的距离公式计算丨bq丨、丨pq丨=丨aq丨-丨ap丨即可得到丨pa丨·丨pq丨=（1-k2）·（1+k）2，结合k∈(-1，1)求导即可计算得出最大值。

第二种做法，相关点法。

既然点a坐标已知，可以把相关点的坐标都求出来。设出直线ap的方程，同样的联立同样的韦达定理得出x1+x2=k，而其中的一个点a坐标就是一个解，如此如果设点a（x1，y1），p（x2，y2），q（x3，y3），那么x2=k+1\/2，利用直线ap的方程计算出y2，即可用k表示p的坐标。而q可以用直线ap表示为（x3，k（x3+1\/2）+1\/4），利用aq⊥bq，那么利用向量aq与向量bq为0进行计算，最后也能算出k表示q的坐标。最后利用两点间距离公式得出丨pa丨和丨pq丨，然后计算，之后步骤同解法一。

第三种做法，参数方程法

根据抛物线的参数方程，可以设p（t，t2）（t∈（-1\/2，3\/2）），q（x3，y3）。如此两点间距离公式得丨ap丨=（t+1\/2）√（t2-t+5\/4），接下来就是利用aq⊥bq，ap与aq共线，那么用向量的方式表示，利用斜率公式列出方程组。最终能计算出点q的横坐标x3，进一步即可求出丨pq丨，最后可以计算出丨pa丨·丨pq丨=1\/16·（-16t?+24t2+16t+3），依旧是求导计算单调性和最值即可。

第四种做法，几何视角的圆方程辅助求解

既然∠aqb=90°，那么点q一定在以ab为直径的圆上。以ab为直径的圆e：（x-1\/2）2+（y-5\/4）2=2，由直线ap方程联立圆e，即可解得q的坐标，也是k表示。根据圆幂定理或者弦长几何关系，可以求出p点坐标，从而得出丨pq丨，最后计算与第一种做法和第二种做法得到一样的方程，后续步骤也一样。

第五种做法，一些小知识的运用，向量数量积的几何意义。

因为丨pq丨是向量pb在向量pq上的投影，所以丨pa丨·丨pq丨=-向量pa·向量pq=-向量pa·向量pb，然后依旧是参数方程的设法设p（t，t2）（t∈（-1\/2，3\/2）），再用两点间距离公式得到关于t的四次方程，依旧是求导计算单调性即可。

第六种做法，在第五种做法的基础上，继续化简，一般称为计划恒等式。同样是用投影来到最后的那一步丨pa丨·丨pq丨=丨-向量pa·向量pb丨，此时去ab中点为m，由极化恒等式可得向量pa·向量pb=向量pm2-向量bm2，由此a，b为定点，向量bm模长就是定下来的，那么只需要计算向量pm的模长最小值，也就是p到m的最小距离，即可得到丨pa丨·丨pq丨的最大值。这就转化成了求抛物线上一点到定点的距离最值问题。设圆m与抛物线相切，联立方程，判别式等于0，或者直接用几何法求法线。最终能直接计算得出结果。

六种做法，从代数硬算到几何巧解，再到向量与极化恒等式的降维打击。这就是数学的魅力，也是陈航建立的体系的力量，能够把知识关联起来，让陈航做题的时候武器库丰沛，总能找到多种做法，并找出最优雅的那条路径，于复杂中看清本质。

普通学生看到的是题目，他看到的是结构。

普通学生在迷宫里找路，他在空中俯瞰迷宫。

从解三角形刷到函数，从解析几何刷到立体几何，从不等式刷到组合数学，从导数刷到新定义……