第87章 逐步展现天赋（2/2）

所以n为偶数时，不可能是整数。

很好！解决了一半！

办公室里的老师们已经看到了陈航草稿纸上的推导。花白头发老师眼睛一亮：“漂亮！用模4就排除了偶数情况！”

“但还有奇数情况要处理。”年轻老师提醒。

陈航显然也意识到了这一点。他继续思考n为奇数的情况。

……

叶锐锋：“没想到下课了航神还没有回来。”

刘梓豪：“是啊，航神不愧是航神，测试都那么久。”

宋莳雨：“我有点担心，不至于做那么久的测试吧？”

林薇：“急什么莳雨，陈航什么水平我们不是最清楚了吗？”

黄溪念：“我倒是有些好奇，是什么题目能做一节课到吃午饭了都不去，一定是有意思的题目。”

周育成：“你们说会不会是竞赛题？”

张启山：“很有可能，是这个学校老师做得出来的。”

十几人边去食堂的路上边聊。

时间到了第65分钟。

办公室外的喧闹声渐渐平息——大部分学生已经去了食堂。但办公室里，没有一个人提出要去吃饭。

“要不……先去吃饭？”一个老师小声提议。

“等等，看他怎么处理奇数情况。”史言哲难得开口，目光始终没有离开陈航的草稿纸。

陈航正在尝试模其他数。

模3？5? mod 3：5≡2 mod 3，5? ≡ 2? mod 3。

分子：20x5? - 2 ≡ 20x2? - 2 mod 3。

20≡2 mod 3，所以分子≡ 2x2? - 2 = 2(2? - 1) mod 3。

分母：3? + 47 ≡ 0 + 47 ≡ 47 ≡ 2 mod 3（因为47=3x15+2）。

如果分数是整数k，那么分子 ≡ kx分母 ≡ 2k mod 3。

所以2(2? - 1) ≡ 2k mod 3，即2? - 1 ≡ k mod 3。

这似乎没有直接矛盾。

模5？

……

第70分钟。

他尝试了模3、模5……都有进展，但都没有得到像模4那样干净利落的矛盾。

“需要更巧妙的构造。”花白头发老师低声说，“模4解决了一半，但另一半……我记得原题解法是……”

突然，花白头发老师还没说完，陈航就动了。

只见前几分钟，陈航盯着自己的草稿和题目，突然间，陈航的思路就如同吃了巴豆一般畅通无阻，就像柯南射激光那般，瞬间想到了怎么做。

n=4k＋1时，

分子：5?(20x5??2)

分母：3? + 47=3^(4k+1)+47=3*81?+47≡3+47 （mod 5）=0（mod 5）

因而这种情况也证明出了式子不为整数。

陈航稍微思索了一会，没问题，然后又想了几秒钟，就剩下最后一种情况，n=4k+3.

但很快，陈航就找到了思路，反证法！

假设3? + 47 | 20x5??2，考虑任何的3? + 47其中的一个素因子，p | 3? + 47，p为奇素数

由此p | 20x5??2，因此 20x5? ≡ 2 mod p

20*5^（4k+3）≡ 2 mod p，4*5^（4k+4）≡ 2 mod p，2*5^（4k+4）≡ 1 mod p

令a=5^（2k+2），则2a2 ≡ 1 mod p，（a?1）2 ≡ 2mod p

从二次剩余的角度来讲，2作为奇素数p是一个二次剩余。

什么样的奇素数p能满足呢？p=8m±1

从而3? + 47所有的奇素数也一定是8m±1形式，进而3? + 47=2*q，q ≡ ±1 mod 8

又n=4k+3，3? + 47=27*81?+47，且16 | 80，因此3? + 47=27+47 mod 16 =74 mod 16 = 10 mod 16，进而（3? + 47）\/2 ≡ 5 mod，与 （3? + 47）\/2 ≡ ±1 mod 8矛盾！

至此，证毕！

陈航把这个思路一点一点严谨的写进答题纸上。