第87章 逐步展现天赋（1/2）

（本人非竞赛生，非数学系，下面题目要是思路和答案错了请指正。）

（叠甲叠甲，狗头保命.jpg）

映入眼帘的是一道数论题。题面不长，但深深的突出那句条件越少，证明越难的话。这道题显然比之前的题目又提升了一个层次，同时这道题，必定让陈航的数学天赋展现在老师们面前。

题目：证明对于正整数n，(20*5^n-2)\/(3^n+47)一定不是整数。

陈航盯着这行字，足足看了两分钟。

办公室里的空气仿佛都凝固了。几位老师屏住呼吸，目光在陈航和墙上的时钟之间来回移动已经第48分钟了。

“来了道硬菜。”陈航暗自心想。

“这道题……我记得是某年某国imo选拔赛的原题。”一位老师回忆着。

陈航拿起笔，在草稿纸上沙沙沙的，尝试计算。

分子：20x5? - 2 = 2x(10x5? - 1) = 2x(10x5? - 1)

分母：3? + 47

因为要证明分数不是整数，等价于证明分子不能被分母整除。

或者说，证明分子模分母不为0。

模运算……这是数论的基本工具。

陈航的笔尖在草稿纸上快速移动：

设 m = 20x5? - 2, d = 3? + 47。

需要证明 m mod d ≠ 0。

他考虑模d下的计算。但d本身与n有关，这增加了难度。

换个思路：如果这个分数是整数，设为k，那么：

20x5? - 2 = k(3? + 47)

整理得：20x5? - kx3? = 2 + 47k。

这是一个关于5?和3?的方程。由于5和3互质，它们的幂增长速率不同……

陈航停下笔，眉头微皱。这个方向似乎很复杂。

时间到了第55分钟。

办公室外隐约传来喧闹声，第四节课下课了，学生们涌向食堂。但数学组办公室里的几个人，仿佛与外界隔绝。

“他卡住了。”年轻老师小声说。

“正常，这道题需要一些巧妙的模运算构造。”花白头发老师摸着下巴，“关键是要找到合适的模数来导出矛盾。”

史言哲依然沉默。他注意到陈航的草稿纸上已经写了好几种思路，但都被划掉了。这学生正在多角度尝试，没有钻牛角尖，这是好习惯。

陈航放下笔，闭上眼睛。

脑海中的数字开始跳舞。20、5、2、3、47……这些数字之间有什么内在联系？

47……47是质数，3? + 47，当n较大时，这个数的主要部分是3?。但模运算中，我们常考虑模一个小素数……

突然，陈航睁开眼睛。

他想起数论中一个常见技巧：为了证明a不被b整除，可以考虑a和b模某个数m的情况。如果a≡0 mod m而b不≡0 mod m，或者反过来，那么a肯定不能被b整除。

关键是要找到合适的m。

他重新审视表达式：(20x5? - 2) \/ (3? + 47)

5?模4是多少？5≡1 mod 4，所以5?≡1 mod 4。

那么20x5? ≡ 20x1 ≡ 0 mod 4。

所以20x5? - 2 ≡ 0 - 2 ≡ 2 mod 4。

再看分母3? + 47。

3?模4：3≡ -1 mod 4，所以3? ≡ (-1)? mod 4。

那么3? + 47 ≡ (-1)? + 47 mod 4。

47≡3 mod 4，所以(-1)? + 47 ≡ (-1)? + 3 mod 4。

分情况讨论：

如果n是偶数，(-1)? = 1，则分母≡ 1+3=4≡0 mod 4。

如果n是奇数，(-1)? = -1≡3 mod 4，则分母≡ 3+3=6≡2 mod 4。

分子总是≡2 mod 4。

分母：n偶时≡0 mod 4，n奇时≡2 mod 4。

如果分数是整数，设为k，那么分子 = kx分母。

在模4意义下：2 ≡ kx分母(mod 4)。

当n偶数时，分母≡0 mod 4，那么右边kx0≡0，但左边是2，矛盾！