第5章 Max函数与北宋漕运（1/2）

极值定策：max函数与北宋漕运的算力博弈

一、汴河困局

熙宁六年，初夏的汴河碧波荡漾，粮船首尾相接，如同一条巨龙蜿蜒向东。可汴河岸边的转运司衙署内，转运使韩绛却愁眉不展，案几上摊开的《漕运粮草册》墨迹淋漓，记录着近半年来各州府经汴河转运的粮草数据，密密麻麻如繁星点点。

“韩大人，江南东路漕船已到渡口，可粮仓只剩三千石库容，如何收纳？”判官李嵩急步进来，声音带着焦灼，“更要命的是，淮南西路、两浙路的漕船三日后也将抵达，按往年估算，三路粮草合计不下五万石，可咱们下辖的七座粮仓，最大库容也才一万五千石，这可如何是好？”

韩绛揉了揉发胀的太阳穴，指尖划过竹简上的数字：“各州府上报的粮草数额杂乱无章，江南东路五千石，淮南西路八千石，两浙路一万石……还有荆湖北路、京东东路的漕船在路上，谁也说不清哪一路的粮草最多，哪座粮仓能容纳峰值运力。”

北宋立国以来，汴河便是帝国的“生命线”，每年从江南、淮南等地转运的粮草、物资达数百万石，支撑着汴京百万人口的生计与朝廷的运转。可漕运调度却始终依赖“经验估算”——转运司的算吏们靠算盘核算各州府粮草数额，再凭记忆分配粮仓，往往出现“大船抵港，粮仓已满”或“粮仓空置，漕船滞留”的乱象。前一年，两浙路漕船因无仓可存，粮草在渡口露天堆放，遭遇暴雨霉变，损失达三千石，韩绛因此被朝廷问责。

“不能再靠猜了！”韩绛猛地拍案，“必须找到一个法子，快速算出各路漕船的最大粮草数额，再匹配最大库容的粮仓，才能避免混乱。”

李嵩面露难色：“可各路粮草数额每日都在变化，算吏们逐笔核算，至少需要三日，等算出结果，漕船都已到港了。”

就在此时，刚从崇文院调来的算学博士沈括推门而入，他手中拿着一卷图纸，眼神明亮：“韩大人，李判官，晚辈有一策，可解此困局。”

沈括是北宋顶尖的科学家与算学家，精通天文、历法、算学，此前因主持重修《奉元历》声名鹊起。他将图纸铺在案几上，上面画着一套复杂的算具与符号：“晚辈研究算学多年，发现天下万事，皆有‘极值’可循。如漕运粮草，虽数额繁杂，但必有一路为最多；粮仓库容，虽大小不一，亦必有一座为最大。若能造出一套‘取极算具’，专门从海量数据中提取最大值，便可瞬间定策。”

韩绛俯身细看，图纸上的算具由齿轮、铜轴与刻有数字的木牌组成，旁边标注着“极数”“汇数”等符号。沈括指着图纸解释：“此算具核心在于‘汇数取极’，将各路粮草数额、各仓库容数据分别输入，算具可自动比对，输出最大值。晚辈将这套算法命名为‘极函数’（原型为max函数），取‘众数之中，取其极者’之意。”

韩绛眼中精光一闪：“沈博士，若真能如此，漕运调度便有了准绳！本官命你牵头，联合转运司的算吏与将作监的工匠，即刻研制这套‘取极算具’。所需人力物力，转运司一概应允，务必在半月内完成！”

沈括领旨谢恩，心中却深知这绝非易事。他需要将抽象的“取极”逻辑，转化为可运转的机械结构，让算具能精准识别并提取最大值——这与后世excel中max函数“扫描指定区域，返回最大数值”的核心逻辑，有着异曲同工之妙。

二、取极初成

研制工坊设在转运司后院，院内摆满了铜料、木材、算筹与竹简。沈括将核心难题拆解为“数据输入”“比对筛选”“极值输出”三步，召集了十余名算吏与工匠，分工协作。

数据输入是第一步。沈括设计了“汇数轴”，由十根刻有0至9数字的铜制转轴组成，每根转轴代表一位数，可组合出从0到的数值，足以覆盖北宋单次漕运的最大粮草数额（不超过五万石）。算吏只需转动转轴，便可将各路粮草数额、各仓库容数据输入算具。

比对筛选是核心。沈括借鉴了《九章算术》中的“方程术”与齿轮传动原理，打造了“比对齿轮组”。每组齿轮对应一个数据，齿轮的齿数与数据大小成正比，如数值“五千”对应五十齿，“一万”对应一百齿。当所有数据输入后，转动算具的曲柄，齿轮组会相互咬合，齿数最多的齿轮会带动一根“极轴”突出，其余齿轮则被卡住——这正是max函数“逐一比对、锁定最大值”的机械实现。

极致输出是最后一步。沈括在算具正面设置了“极数窗”，内嵌刻有数字的木牌，当“极轴”突出时，会带动对应数字的木牌弹出，清晰显示最大值。同时，他还设计了“双极并行”结构，可同时输入两组数据（如粮草数额与粮仓库容），分别输出最大值，方便快速匹配。

研制过程并非一帆风顺。最初的比对齿轮组因齿数设计不合理，常出现“数值相近时无法区分”的问题。一次，算吏输入江南东路五千石与淮南西路五千五百石两组数据，齿轮组竟同时弹出两个数值，导致筛选失败。沈括反复试验，将齿轮齿数改为“十进制递进”，每增加一个单位数值，齿数增加两齿，通过齿数差扩大数值区分度，终于解决了这一难题。

又过了七日，算具的机械结构基本成型，但新的问题出现了：当输入数据超过十组时，齿轮组会相互缠绕，无法正常运转。沈括苦思冥想，一日在汴河边观察漕船编队时突发灵感：“漕船编队，首尾相接，却各有航道。算具比对，亦可分路并行。”

他对算具进行了改良，将“比对齿轮组”分为两组，每组可处理十组数据，再增设一套“次级比对轴”，先分别筛选两组中的最大值，最后再比对两组极值，输出最终结果。这一设计，如同max函数处理大规模数据时的“分段扫描、逐级比对”，大幅提升了算具的处理能力。

半月期满，第一台“取计算机”终于研制成功。这台算具高约三尺，宽二尺，通体由铜木打造，正面设有两个“极数窗”，分别标注“粮极”“仓极”，侧面是十根“汇数轴”，整体造型古朴而精巧。

沈括在转运司衙署组织演示，韩绛、李嵩与转运司的算吏们亲临观看。算吏们依次输入七路漕运粮草数额：江南东路五千石、淮南西路八千石、两浙路一万石、荆湖北路七千五百石、京东东路六千石、福建路四千石、广南东路三千五百石。沈括摇动曲柄，算具内齿轮转动的声音清脆悦耳，片刻后，“粮极”窗口弹出木牌，上面刻着“一万石”；随后，算吏们输入七座粮仓库容：东仓八千石、西仓一万五千石、南仓七千石、北仓一万二千石、中仓九千石、左仓六千五百石、右仓八千五百石，“仓极”窗口随即弹出“一万五千石”。

“精准无误！”负责核对的算吏惊呼道，“两浙路粮草确实最多，西仓库容果然最大！以往我们核算这些数据，需三名算吏耗时两个时辰，如今不过一炷香的时间！”

韩绛大喜过望，当即下令：“将‘取极算具’安放在转运司正厅，命名为‘漕运定策台’。即日起，各路漕船上报粮草数额后，即刻输入算具，提取最大值，优先调配最大库容粮仓接收！”

三、汴河通流

“取极算具”的启用，立刻给汴河漕运带来了翻天覆地的变化。

三日后，淮南西路、两浙路、江南东路的漕船如期抵达汴河渡口。按以往流程，算吏们需先核算三路粮草总数，再分摊到各粮仓，往往耗时半日，导致漕船在渡口排队等候。如今，算吏们将三路粮草数额输入“取极算具”：淮南西路八千五百石、两浙路一万一千石、江南东路五千五百石，“粮极”窗口瞬间弹出“一万一千石”。

“两浙路粮草最多，调往西仓！”韩绛当即下令。西仓库容一万五千石，足以容纳两浙路的粮草，剩余库容还能接收淮南西路的部分粮草。漕船按指令分流，两浙路漕船直接驶向西仓，淮南西路漕船驶向北仓，江南东路漕船驶向中仓，整个过程井然有序，无一艘漕船滞留。