第9章 Decimal之惑（1/2）

数度归宗：大明算学馆的进制秘案

一、钦天监异数，decimal之惑

万历二十三年，南京钦天监的算学馆内，铜灯彻夜不熄。算学博士徐光启正对着案几上的一卷西洋手稿蹙眉沉思，手稿上“decimal 65.625”的字样，如同一个难解的谜题，困扰了他多日。

这卷手稿是意大利传教士利玛窦从欧洲带来的，上面记载着西洋算学的“进制转换之术”。利玛窦在与徐光启合着《几何原本》时，偶然提及“天下之数，不止十进制一种，二进制、十六进制亦有妙用”，并留下了这个神秘的数字“65.625”，称其为“数之枢纽”，可贯通三种进制。

徐光启精通《九章算术》，对十进制运算了如指掌，却从未听闻“二进制”“十六进制”的说法。他尝试用十进制的逻辑推演，将65.625拆分为60+5+0.6+0.025，却始终无法触及二进制与十六进制的核心。

“徐博士，夜深了，何不歇息片刻？”利玛窦推门而入，手中捧着一盏西洋玻璃灯，灯光照亮了手稿上的符号。

徐光启起身拱手：“利先生，此数‘65.625’究竟有何玄机？二进制、十六进制又该如何推演？”

利玛窦微微一笑，将玻璃灯放在案几上，指着手稿解释：“十进制以‘十’为进，二进制以‘二’为进，十六进制以‘十六’为进。如65.625，在二进制中是‘.101’，在十六进制中是‘41.a’，只是西洋符号过于晦涩，需转化为大明算学可解之法。”

徐光启闻言，眼中闪过一丝灵光：“先生之意，是如同度量衡换算一般，找到不同进制的‘换算之规’？”

“正是！”利玛窦点头，“十进制转二进制，整数部分‘除二取余’，小数部分‘乘二取整’；转十六进制，整数部分‘除十六取余’，小数部分‘乘十六取整’。只是这‘取余’‘取整’的推演过程，需耗费大量心神，且需验证其准确性。”

徐光启当即下令，封闭算学馆，召集馆内最顶尖的算吏，组成“进制推演小组”，以65.625为引，探寻二进制与十六进制的转换之术。他深知，此事若成，必将为大明算学开辟新的天地，甚至能助力天文历法、工程建造的精准运算。

二、除二取余，binary之径

推演工作从十进制转二进制开始。徐光启根据利玛窦的提示，将转换之法拆解为“整数部分”与“小数部分”，分别推演。

整数部分“除二取余”是第一步。徐光启取65为基数，命算吏用算筹演算：“65除以二，商32，余数1；32除以二，商16，余数0；16除以二，商8，余数0；8除以二，商4，余数0；4除以二，商2，余数0；2除以二，商1，余数0；1除以二，商0，余数1。”

算吏们按顺序记录余数，得到“1、0、0、0、0、0、1”。徐光启凝视着这串数字，陷入沉思：“余数需逆序排列，方可得到二进制的整数部分。如此一来，65的二进制整数，便是‘’？”

利玛窦在一旁验证，点头称是：“徐博士所言极是。二进制中，每一位代表‘二的幂次’，从右往左依次为2?、21、22……，便是2?+2?=64+1=65，分毫不差。”

整数部分的成功，让算吏们士气大振。接下来是小数部分“乘二取整”，目标是0.625。徐光启亲自演算：“0.625乘二，得1.25，取整数1；剩余0.25乘二，得0.5，取整数0；剩余0.5乘二，得1.0，取整数1。”

算吏们按顺序记录整数，得到“1、0、1”。徐光启将整数部分与小数部分结合，得到“.101”。他反复演算验证：“.101，整数部分65，小数部分1x2?1+0x2?2+1x2?3=0.5+0+0.125=0.625，正是65.625！”

算学馆内一片欢腾，算吏们纷纷感叹西洋算学的精妙。可徐光启却并未满足，他深知，二进制的转换只是第一步，十六进制的推演，难度更大——十六进制中，10至15需用字母代替，这与大明算学的数字体系截然不同。

利玛窦似乎看穿了他的心思，取出一枚西洋银币，上面刻着0至9的数字与a、b、c、d、e、f的符号：“徐博士，十六进制中，10对应a，11对应b……15对应f。65.625转十六进制，需沿用‘除基取余’‘乘基取整’之法，只是基数换为十六。”

徐光启接过银币，凝视着上面的符号，心中已有了推演的蓝图。

三、乘十六取整，hexadecimal之秘

十六进制的推演，从整数部分“除十六取余”开始。徐光启取65为基数，用算筹演算：“65除以十六，商4，余数1；4除以十六，商0，余数4。”

算吏们逆序排列余数，得到“4、1”。徐光启沉吟道：“如此一来，65的十六进制整数部分，便是‘41’？”